1666年，牛顿靠一小块“月牙”算出了π的16位小数

先说个背景：那时候没有计算机，π 想多算一位，都得靠人力硬啃。牛顿的思路很“取巧”——不直接算圆，而是找一块小到刚好能算清楚的区域，用两种完全不同的方法算它的面积，再把两个结果对上。

第一步：找一块好算的地
他盯上了函数 y = √(x − x²) 在区间 [0, 1/4] 内的那一小块面积。

第二步：几何法
把这块区域放进圆里看，它等于一个 60 度扇形减去一个三角形，也就是 A = π/24 − √3/32。

第三步：微积分法
用他当时新搞出来的二项式级数，把 √(1 − x) 展开，再一项一项积分，得到 A = 1/12 − 1/(5·2⁵) − 1/(28·2⁷) − ⋯

第四步：让两种算法“对账”
既然算的是同一块面积，那就令两者相等，整理一下：

π = 3√3/4 + 24(1/12 − 1/(5·2⁵) − 1/(28·2⁷) − 1/(72·2⁹) − ⋯)

关键在哪？
这个级数收敛得相当快——每一项大约只有前一项的四分之一。所以只要累加 22 项，就能稳定给出 16 位小数。

互动小问题：如果让你来设计，你会选多大的一块区域？太小，误差放大；太大，级数项数暴涨。牛顿选 [0, 1/4] 这个“刚刚好”的尺度，其实是个挺讲究的权衡。