学霸口算，但交白卷的孩子不在少数！小学五年级数学拓展题：如图一，正方形ABCD边长为6，E为CD中点，连接AE。点F在AE线段上，分别连接BF、CF。已知三角形ABF面积与三角形CEF面积相等，求阴影三角形BCF的面积。


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难点：
①不会运用隐藏面积关系。学生习惯硬算边长，看不出S△ABF+S△CDF等于正方形一半这个隐含条件。
②辅助线难想到。需要主动连接DF，利用中点得到等面积三角形，把题目给的相等条件串联起来。
③容易看错图形构成。容易把△CDF当成单个三角形，忘记它是△CEF和△DEF拼合而成。
④混淆对角三角形性质。算出S△ADF=3后，不知道用S△BCF+S△ADF=18快速求解，而去硬算底高。
⑤比例迁移容易出错。解法二中，把AF:EF的比例，从一组三角形迁移到另一组等高三角形，逻辑链条长，一步错全部错。

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解法一：等积变换法（连接辅助线DF，如图一）

①因为E是CD中点，DE和EC底边相等，三角形DEF和三角形CEF共用同一个高。
根据同底等高面积相等，可得：S△DEF = S△CEF。
结合题目条件，得到：
S△ABF = S△CEF = S△DEF

②正方形中，S△ABF + S△CDF = 正方形面积的一半。
正方形面积一半：36÷2=18
S△CDF = S△CEF + S△DEF = 2×S△CEF
代入计算：
S△CEF + 2×S△CEF = 18
3×S△CEF = 18
S△CEF = 6

③S△ADE = 36÷4 = 9
S△ADE = S△ADF + S△DEF
S△ADF = 9 − 6 = 3

④正方形内，S△BCF + S△ADF = 18
S△BCF = 18 − 3 = 15

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解法二：等高面积比例法（连接辅助线BE，如图二）

①S△ABE = 36÷2 = 18
S△ABE = S△ABF + S△BEF
S△BEF = 18 − 6 = 12

②△ABF和△BEF共用顶点B，底边AF、EF在直线AE上，是等高三角形。
等高三角形面积比等于底边长度比。
S△ABF : S△BEF = 6 : 12 = 1 : 2
所以 EF = 2×AF

③△ADF和△DEF共用顶点D，底边AF、EF在直线AE上，等高。
底边比1:2，面积比也是1:2。
S△DEF = 2×S△ADF

④S△ADE = S△ADF + S△DEF = 3×S△ADF = 9
S△ADF = 3

⑤S△BCF = 18 − S△ADF
S△BCF = 18 − 3 = 15


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核心知识点（五年级）

1、同底等高的三角形，面积相等。
2、等高的两个三角形，面积之比等于底边长度之比。
3、正方形内，一组对角的两个三角形面积相加，等于正方形总面积的一半。



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