在数学的发展史中，数系的不断扩充，可以看作是数学发展史的一个缩影。数系的每一次扩充，都是思维方式的颠覆与重建。

人类最开始发现的是“自然数集”，自然数概念的发展是一个漫长而渐进的过程，起初只有1、2和2以上的自然数。

直到876年，人们才发现了“0”，这个数最早出现于印度的一件碑铭上。

在刚引入“0”这个符号到西方时，大部分的西方人纠结于要不要将它加入“数系”，甚至有人认为“0”是魔鬼数字而被禁用。

直至约公元15，16世纪，“0”才逐渐被西方人所认同。

至此，自然数的体系基本确立，人们觉得“自然数集”里的“数”已经“够用了”。

然而，在那个只有“自然数集”的年代，人们的思维方式中，只有“大的数”减“小的数”的观念。

如果有小朋友问：“假如‘1减去2’呢？将发生什么？”，可以想象，提出这样的问题的人，会被大人们批评调皮捣蛋者，然后无奈地摇头一笑。

但是，人们渐渐地发现，“自然数集”里的“数”确实不太够用。

比如在记账时有余有亏，在计算粮仓存米时，有时要记进粮食，有时要记出粮食。于是，人们发现了“负数”。

相比于西方，中国的负数要早得多。

早在两千多年前，中国就有了“负数”的概念，而且有了一套完整的“正负数运算法则”。

人们计算“正负数”的时候用一些小竹棍摆出各种数字来进行计算，这些小竹棍叫作“算筹”。

中国三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献，刘徽最早给出了正负数的定义。

中国古代著名的数学专著《九章算术》中，最早提出了“正负数加减法的法则”。

而在同时期的古代巴比伦，在“解方程”中没有提出“负数根”的概念。3世纪的希腊学者丢番图的著作中，也只给出了方程的正根。

到了元代，朱世杰又明确地给出了“正负数的乘除法则”。

而在印度，数学家婆罗摩笈多于公元628年才认识负数可以是“二次方程”的根，对“负数”的认识，比中国迟了500多年。

而在欧洲14世纪时，连最有成就的法国数学家丘凯还在把负数说成是荒谬的数。

直到十七世纪，荷兰人日拉尔才首先认识和使用“负数”解决几何问题。

而在欧洲，直到16、17世纪，大多数的数学家都不承认“负数”是数。

著名的大数学家帕斯卡认为，从0减去4是纯粹的胡说。直到1712年，连莱布尼兹也没有承认“负数”。

甚至到了18世纪，欧洲还存在少部分人在排斥负数。

一直到19世纪，随着“整数理论”基础的建立，负数在逻辑上的合理性才真正建立。

至此，自然数加上负数，就组成了完备的“整数集”。

“整数集”完备之后，在很长一段时间里，人们觉得现有的“数”已经“够用了”。因为人们已经解决了“小的数”减“大的数”的问题。

但是某一天，又有一个调皮的顽童问，如果用两个整数相除而又不能除尽，该怎么办？

于是分数又诞生了。

同样，分数在中国古代数学中就已经取得了显著成就，已经有了独特的“分数理论”和“运算方法”。

在世界名著《九章算术》中，就系统地阐述了分数的概念、通分、约分、加减乘除以及分数与整数的转化等运算规则。

早在公元前 3000 年左右的古埃及和古巴比伦文明中，就出现了分数的早期形式。

在12世纪阿拉伯数学家哈萨尔的著作中，明确使用了“分数线”，使分数的表示更加清晰。

而在西方，直到13世纪，意大利数学家斐波那契在他的著作《算盘书》中将这种记法引入欧洲，极大地推动了现代分数体系在西方的普及 。

16世纪，荷兰数学家斯蒂文在《论小数》一书中对小数的推广，使得分数和小数之间的转换更加便捷。在现代数学中，小数被等同于分数。

在整数加入分数之后，完备的“有理数集”就完成了。

故事讲到这里的时候，人类的思维已经历了数次颠覆与重建，但是其过程还是温和的。

当“数系”的扩充之路继续向前，思维方式被颠覆的过程变得极为剧烈。

当完备的“有理数集”形成后，人们认为现有的“数”实在是已经“够用了”，甚至大部分的人认为，可以用现有的“数”来表示世间万物。

于是，毕达哥拉斯学派将“万物皆数（指有理数）”作为其信仰的教条，凡是违背这一教条者，将受到严厉的惩罚。

当学派的门徒希帕索斯发现了“根号2”的存在后，被学派愤怒地抛入了大海。

“根号2”的发现，给人们带来了巨大的思维冲击，导致了“第一次数学危机”。

在接下来的漫长岁月中，经过数学家们前仆后继的努力，将“有理数”与“无理数”组成了完备的“实数集”。

至此，人们总算长长地舒了一口气，这一回，现在的“数”应该已经“够用了”，因为在笛卡尔的“直角坐标系”中，已经再也找不到“实数集”以外的数。

直到16世纪，当时意大利数学家邦贝利在研究“三次方程”的解法时，又接触到了新的数——“虚数”。但他当时并没有完全理解“虚数”的含义，只作为一种操作工具暂时使用，并没有提出“虚数”这个名词。

在这个还没有名称的“虚数”出现后，被视为数学上的怪异现象，许多数学家对其持怀疑态度。

直到17世纪，笛卡尔才首次提出了“虚数”这一名词。但他并不认为虚数真正的存在，他认为虚数只是“假想的”数。

直到18世纪，瑞士数学家欧拉通过著名的“欧拉公式”揭示了虚数与“三角函数”之间的紧密联系。

这一公式不仅为虚数的实际计算铺平了道路，还赋予了虚数更为具体的几何解释，使其在“复平面”上得以表示。

到了“19世纪”，虚数的发展进入了新的高度。德国数学家高斯通过引入“复平面”，将“虚数”实现了几何化，使得虚数不再仅仅是一个抽象的“代数符号”。

接下来，高斯在“数学分析”中大量使用虚数，推动了它在“解析函数论”中的应用。

随着时间的发展，“虚数”的应用渐渐地延伸到了物理领域。

在“波动理论”中，复数和虚数通过“欧拉公式”描述了波的传播和干涉现象。

这时的光波、电磁波以及量子力学的波函数等都可以写成复数形式。

在量子力学中，其核心概念之一是波函数，它可以表示为复数形式。

“薛定谔方程”以复数形式描述了粒子的波动行为。

至此，作为满足我们常见运算律（交换律、结合律等）的数系的“复数集”已是一个完美的终点。

这时人们认为，“数系”不会再继续扩充，也就是说，这一回，“数”已经够用了。

但是，随着科学的进一步发展，人们发现“数”还是不够用。

数学家为了特定目的仍在构建更广义的‘数’，比如四元数。

也就是说，传统的“数系”的扩充虽然已经告一段落，但是“四元数”的门又打开了。

四元数是复数的推广，它是一种“四维超复数系统”，由一个实数单位和三个虚数单位构成。

四元数的最大贡献之一是在“三维旋转”的数学描述中，它优于“欧拉角”或“旋转矩阵”，因为四元数在描述旋转时避免了“奇异点问题”（如万向锁效应）。

四元数广泛应用于计算机图形学、机器人学、控制系统以及物理学中的“三维旋转和变换”。在现代“图形渲染”中，四元数用于动画和虚拟现实中的“物体旋转”，能够高效且稳定地描述复杂的“三维运动”。

后来，人们发现“四元数”还是“不够用”，于是又进一步推广出“八元数”。

“八元数”由一个实数单位和七个虚数单位组成，在更高维空间的几何和代数中具有独特的应用。

主要用于“理论物理学”，尤其在超对称、弦理论以及某些“量子力学”问题中。它们为高维空间的“数学结构”提供了新的视角，虽然不如四元数那样广泛应用，但仍在某些特殊领域具有重要意义。

由此可见，无论何时，断言“数”已经“够用了”，都为时过早。

随着人类的发展，"数"永远“不够用”。在未来漫长的岁月里，还会继续不断地对人类的思维方式进行颠覆与重建。